«Αν είστε μαθηματικός», έγραψε πρόσφατα ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς του κόσμου, «καλό θα ήταν να βεβαιωθείτε ότι κάθεστε πριν συνεχίσετε να διαβάζετε».

Και σίγουρα θα χρειαστεί να καθίσετε αν δεν είστε μαθηματικός.

Γιατί ένα διάσημο μαθηματικό πρόβλημα, που αντιστεκόταν στις προσπάθειες των ανθρώπων να το λύσουν για το μεγαλύτερο μέρος ενός αιώνα, τελικά καταρρίφθηκε — από την τεχνητή νοημοσύνη.

Μέχρι πρόσφατα, τα πιο προηγμένα μοντέλα ΤΝ δυσκολεύονταν ακόμη και με βασικά μαθηματικά. Μέχρι πέρυσι, όμως, έφτασαν να επιτυγχάνουν επιδόσεις επιπέδου χρυσού μεταλλίου στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα. Τώρα λύνουν κλασικά προβλήματα της συνδυαστικής γεωμετρίας χρησιμοποιώντας αλγεβρική θεωρία αριθμών. Μέσα σε ελάχιστο χρόνο, η τεχνητή νοημοσύνη πέρασε από το στάδιο της αδεξιότητας σε ένα επίπεδο που προκαλεί δέος.

Ακόμη και οι μαθηματικοί, όμως, εξεπλάγησαν όταν η OpenAI ανακοίνωσε ότι ένα από τα μοντέλα της έλυσε έναν γρίφο γνωστό ως «πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης» (unit distance problem), χωρίς καμία ανθρώπινη βοήθεια ή εξισώσεις γραμμένες σε πίνακες.

Στο μοντέλο δόθηκε το πρόβλημα με μαθηματικά σύμβολα και λίγο αργότερα ολόκληρη η μαθηματική κοινότητα έχασε τα λόγια της.

Για να διευκολύνει όσους δεν μιλούν τη γλώσσα των αριθμών, η OpenAI παρουσίασε τα ευρήματα του μοντέλου μαζί με 19 σελίδες σχολίων από διακεκριμένους μαθηματικούς.

Κατά κανόνα, οι μαθηματικοί είναι εξαιρετικά επιφυλακτικοί απέναντι στην υπερβολή. Απαιτούν αποδείξεις πριν δεχθούν ακόμη και απλά γεγονότα, πόσο μάλλον ισχυρισμούς για πρωτοποριακές ανακαλύψεις. Πολλοί ήταν επίσης δύσπιστοι απέναντι στην ιδέα ότι η ΤΝ θα μπορούσε να φέρει επανάσταση στον κλάδο τους.

Κορυφαίοι επιστήμονες, όμως, τώρα δηλώνουν πως «ακόμη κι αν η ΤΝ δεν γίνει ποτέ πιο έξυπνη από σήμερα, έχουμε ήδη περάσει σε μια νέα εποχή».

«Θα γίνει πολύ δύσκολο για τους ανθρώπους να ανταγωνίζονται την ΤΝ στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων», προσθέτουν.

Η Wall Street Journal σε άρθρο της προσπαθεί να εκλαϊκεύση κι άλλο το επίτευμα: τι ακριβώς βρήκε η ΤΝ και γιατί αυτή η ανακάλυψη έχει σημασία για όσους θα προτιμούσαν να κρατήσουν μόνιμα απόσταση από τα μαθηματικά.

Το αμερικανικό μέσο απευθύνθηκε σε εργαζομένους της OpenAI, οι οποίοι δήλωσαν ότι πράγματι η λύση του προβλήματος θα ακουγόταν εντελώς εξωφρενικό πριν από έναν χρόνο.

«Ξεχάστε τον έναν χρόνο», είπε ο ερευνητής Σεμπαστιέν Μπιούμπεκ. «Πριν από έναν μήνα.»

Φανταστείτε, λοιπόν, πόσο αδιανόητο θα φαινόταν πριν από 80 χρόνια, όταν το πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης διατυπώθηκε από τον Paul Erdős, τον πιο παραγωγικό μαθηματικό στην ιστορία.

Ο Έρντος ήταν επίσης γνωστός ως εκκεντρική και νομαδική ιδιοφυΐα. Ζούσε κυριολεκτικά με μια βαλίτσα στο χέρι, εργαζόταν ασταμάτητα και ταξίδευε σε όλο τον κόσμο, πιστός στο προσωπικό του μότο: «Άλλη στέγη, άλλη απόδειξη».

Εκτός από την έρευνά του, άφησε πίσω του μια τεράστια συλλογή ερωτημάτων γνωστών ως «προβλήματα του Έρντος», τα οποία αποτελούν σήμερα σημείο αναφοράς για τη μέτρηση της προόδου στα μαθηματικά.

Μπορούσες να καταλάβεις πόσο αγαπούσε ένα πρόβλημα από το χρηματικό έπαθλο που προσέφερε για τη λύση του. Το πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης ήταν από τα αγαπημένα του: αρχικά προσέφερε 300 δολάρια και αργότερα αύξησε το ποσό στα 500.

Όταν δεν απέδιδε χρηματική αξία στα μαθηματικά προβλήματα, τα χώριζε σε δύο κατηγορίες: τα «ζαχαρωτά» («μια νόστιμη λιχουδιά που προσφέρει λίγες στιγμές πρόσκαιρης ευχαρίστησης») και τα «βελανίδια» («προβλήματα που απαιτούν βαθιές και λεπτές νέες ιδέες, από τις οποίες μπορεί να αναπτυχθεί μια πανίσχυρη βελανιδιά»).

Αυτό το πρόβλημα ήταν ένα γιγάντιο βελανίδι — και η OpenAI ήθελε να το σπάσει.

Η απλούστερη εκδοχή του προβλήματος έχει ως εξής:

Αν τοποθετήσετε n σημεία σε ένα φύλλο χαρτί, πόσα ζεύγη σημείων μπορούν να απέχουν ακριβώς μία μονάδα μεταξύ τους;

Ο Έρντος έδειξε το 1946 ότι αν τα σημεία τοποθετηθούν σε διάταξη πλέγματος, προκύπτει ένας συγκεκριμένος αριθμός τέτοιων ζευγών. Η εικασία του ήταν ότι καμία άλλη διάταξη δεν μπορούσε να τα καταφέρει σημαντικά καλύτερα.

Το μοντέλο της OpenAI βρήκε μια διάταξη που τα καταφέρνει καλύτερα.

Με άλλα λόγια, η απόδειξη ήταν στην πραγματικότητα μια διάψευση της εικασίας.

Οι ερευνητές της OpenAI έμειναν άφωνοι. Είχαν δώσει το πρόβλημα σε ένα εσωτερικό μοντέλο ως δοκιμασία των δυνατοτήτων του, για να δουν αν ήταν καλύτερο από τα προηγούμενα. Κατάλαβαν πόσο καλύτερο ήταν όταν διάβασαν τη λύση.

«Αρχικά δεν το πίστεψα», είπε ο μαθηματικός της Κολούμπια και ερευνητής της OpenAI, Μεχτάαμπ Σόνι.

Έτσι άρχισαν να ψάχνουν για λάθη, να ζητούν επαλήθευση από εξωτερικούς ειδικούς και να ελέγχουν τη δουλειά του μοντέλου χρησιμοποιώντας το εργαλείο προγραμματισμού Codex.

«Με αρκετό διάβασμα και αρκετό Codex», είπε ο Σόνι, «άρχισε να φαίνεται πειστικό — και πραγματικά αξιοσημείωτο».

Πολύ πριν από την εποχή της ΤΝ, οι μαθηματικοί που έλυναν προβλήματα του Έρντος συχνά κορνίζωναν τις επιταγές αντί να τις εξαργυρώνουν. Για εκείνους, η δόξα άξιζε περισσότερο από τα χρήματα.

Όταν η WSJ ρώτησε τους ερευνητές της OpenAI τι σκοπεύουν να κάνουν με το έπαθλο, μου είπαν ότι δεν το είχαν σκεφτεί ιδιαίτερα.

Είχαν όμως πολλές σκέψεις για το επόμενο ερώτημα που αβίαστα προκύπτει:

Γιατί η ΤΝ πέτυχε εκεί που οι άνθρωποι απέτυχαν;

Η πρώτη εξήγηση είναι ότι η συγκεκριμένη λύση είναι εξαιρετικά αντιδιαισθητική.

Οι περισσότεροι που ασχολήθηκαν με το πρόβλημα προσπάθησαν να αποδείξουν την εικασία του Έρντος, όχι να τη διαψεύσουν. Μόνο αψηφώντας τη συμβατική σοφία και δοκιμάζοντας στρατηγικές που έμοιαζαν απίθανες, το μοντέλο βρήκε έναν απροσδόκητο δρόμο.

Η δεύτερη εξήγηση είναι ότι οι άνθρωποι εξειδικεύονται, ενώ η ΤΝ συνθέτει.

Οι μαθηματικοί συνήθως εστιάζουν στο δικό τους πεδίο ειδίκευσης. Τα μοντέλα ΤΝ, αντίθετα, αξιοποιούν τεράστιο εύρος γνώσεων για να εντοπίσουν συνδέσεις που εμείς δύσκολα θα βλέπαμε.

Στην προκειμένη περίπτωση, αυτό σήμαινε συνδυασμό της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών με τη διακριτή γεωμετρία — δύο κλάδους τόσο διαφορετικούς μεταξύ τους όσο ο μαραθώνιος και το άλμα επί κοντώ.

Η τρίτη εξήγηση είναι ότι η ΤΝ διαθέτει χρόνο, προσοχή, υπομονή, συγκέντρωση και επιμονή ώστε να συνεχίζει να δοκιμάζει μεθόδους που οι άνθρωποι πιθανόν θα εγκατέλειπαν.

«Είναι το είδος της ιδέας που δοκιμάζεις για λίγο, δεν λειτουργεί και σκέφτεσαι ότι μάλλον ήσουν υπερβολικά αισιόδοξος», είπε ο στατιστικολόγος του Χάρβαρντ Μαρκ Σέλκι. «Οπότε τα παρατάς και προχωράς.»

Η ΤΝ δεν προχωρά παρακάτω. Συνεχίζει ακούραστα χωρίς να χρειάζεται να φάει, να κοιμηθεί, να απαντήσει σε email, να πάρει τα παιδιά από το σχολείο ή να δει έναν αγώνα των Knicks.

Μπορεί να συλλογίζεται με συνοχή για τόσο μεγάλο χρονικό διάστημα ώστε ακόμη και μια συντομευμένη εκδοχή της αλυσίδας σκέψης του μοντέλου ξεπέρασε τις 75.000 λέξεις — περίπου όσο το πρώτο βιβλίο του Harry Potter.

Αφού τη διάβασε, ένας πρώην ερευνητής της OpenAI υπολόγισε πρόχειρα ότι χρειάστηκαν λιγότερες από 32 ώρες και περίπου 1.000 δολάρια σε υπολογιστικούς πόρους (tokens) για να παραχθεί αυτό το αποτέλεσμα — εξαιρετικά μικρό κόστος για μια τόσο σημαντική ανακάλυψη.

Όλη αυτή η κατάσταση μπορεί να σας φαίνεται ανησυχητική, εμπνευστική ή και τα δύο. Ωστόσο, οι άνθρωποι μέσα στην OpenAI είναι αξιοσημείωτα αισιόδοξοι για το μέλλον των μαθηματικών.

Επισημαίνουν ότι σε τομείς όπως το Go και το σκάκι, οι τεχνολογικές εξελίξεις που κάποτε έμοιαζαν αδιανόητες τελικά βελτίωσαν και την ανθρώπινη απόδοση.

Όπως μια αριθμομηχανή, λένε, η ΤΝ είναι ένα εργαλείο που μπορεί να επεκτείνει την περιέργειά μας αντί να την καταστρέψει.

Μάλιστα, οι άνθρωποι ήδη αξιοποιούν τις μεθόδους αυτής της λύσης για να επιτεθούν σε άλλα μακροχρόνια μαθηματικά προβλήματα.

«Το νόημα μιας ανακάλυψης», έγραψε ο Μπιούμπεκ στο X, «είναι ότι ξαφνικά κάνει εφικτά πολλά πράγματα που προηγουμένως φαίνονταν αδύνατα».

Φυσικά, η ικανότητα επίλυσης προβλημάτων του Έρντος δεν ισοδυναμεί με υπερανθρώπινη νοημοσύνη. Η εξειδικευμένη μαθηματική έρευνα δεν θεραπεύει τον καρκίνο. Και η θαυματουργή εποχή των επιστημονικών ανακαλύψεων που καθοδηγούνται από ΤΝ δεν έχει ακόμη φτάσει.

Είναι, όμως, δίκαιο να πούμε ότι η ΤΝ είναι απολύτως ικανή να επιταχύνει την επιστημονική πρόοδο σε οποιοδήποτε πεδίο υπάρχουν προβλήματα που περιμένουν να λυθούν. Και τώρα υπάρχει απόδειξη. Ή μάλλον... διάψευση.